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判斷連續時間系統的線性非時變性和因果性

2012-08-03 10:44 作者:潘小紅 來源:硅谷網 HV: 編輯: 【搜索試試

  硅谷網8月3日消息 《硅谷》雜志2012年第12期刊文稱,在“信號與系統”課程中,對連續時間系統的線性非時變性和因果性的判斷是個難點。結合自己在該課程教學過程中的體會,將連續時間系統的輸入輸出描述可分為三種情況,分別介紹這些系統的線性非時變性的判斷方法。并從時域和變換域對系統的因果性判斷進行分析。通過這些方法,學生可以快速準確的判斷系統的線性非時變性和因果性。
  在“信號與系統”課程的教學中,對連續時間系統的線性非時變性和因果性的判斷是一個很重要的內容,對學生來說,同時又是個難點。文獻[1]僅討論了連續時間系統的輸入輸出描述為數學解析式時非時變性的判斷方法。目前還未有文獻全面分析連續時間系統的線性非時變性和因果性的判斷方法。筆者結合自己在該課程教學過程中的體會,總結了對連續時間系統輸入輸出描述為三種不同情況下的線性非時變性的判斷方法,并從時域和變換域介紹了系統的因果性判斷方法。
  1線性非時變性的判斷
  能滿足疊加定理的系統就是線性系統[2]。設當激勵為f1(t)時,響應y1(t)=T[f1(t)],當激勵為f2(t)時,響應y2(t)=T[f2(t)],則由疊加定理可得:
  T[Af1(t)+Bf2(t)]=AT[f1(t)]+BT[f2(t)]=Ay1(t)+By2(t)(1)
  非時變系統是指在零初始狀態條件下,系統的響應與激勵加入時刻無關[2]。設T[f(t)]=y(t),
  則由非時變性質可得:
  T[f(t-t0)]=y(t-t0)(2)
  對于連續時間系統的線性非時變性的判斷是個難點,筆者將連續時間系統的輸入輸出描述分為三種情況,并分別介紹了這些系統的線性非時變性的判斷方法。通過這些方法,學生可以快速準確的判斷系統的線性非時變性。
  1)連續時間系統輸入輸出描述為微分方程形式
  設作用于系統的激勵信號為f(t),產生的響應為y(t)。如果描述連續時間系統的微分方程中的所有的項都只含f(t)及其導數或者y(t)及其導數的一個乘積項,則該系統為線性系統[2]。如果微分方程中任何一項的系數都是常數,則系統為非時變的。如果f(t)或者y(t)中任何一項的系數是t的時間函數,則系統為時變的。下面通過例子說明。
  例1:y’’(t)-2y’(2t)+5y(t)=6ef(t)f(t)
  在例1中,由于ef(t)f(t)含有2個關于f(t)的乘積項,所以系統為非線性的。又因為y’(2t)將使系統隨時間變化,所以系統為時變系統。
  2)連續時間系統輸入輸出描述為數學解析式(不包含初始狀態)
  如果連續時間系統輸入輸出描述為數學解析式,應按照式(1)和式(2)判斷系統的線性非時變性。
  例2:y(t)=f(t-2)+f(3-t)
  在例2中,T[Af1(t)+Bf2(t)]=Af1(t-2)+Bf2(t-2)+Af1(3-t)+Bf2(3-t)
  =A[f1(t-2)+f1(3-t)]+B[f2(t-2)+f2(3-t)]
  =Ay1(t)+By2(t)
  所以該系統滿足疊加定理,為線性系統。
  設f(t-t0)=g(t),則T[f(t-t0)]=T[g(t)] 
  =g(t-2)+g(3-t)
  =f(t-2-t0)+f(3-t-t0)
  而y(t-t0)=f(t-2-t0)+f(3-t+t0)≠T[f(t-t0)]
  所以該系統不滿足非時變性,為時變系統。
  3)連續時間系統輸入輸出描述中包含初始狀態
  如果連續時間系統輸入輸出描述中包含初始狀態,則判斷系統是否滿足線性性質的步驟如下:
  ①判斷系統響應是否滿足分解性質,如果滿足分解性質,則
  y(t)=yzi(t)+yzs(t)(3)
  ②零輸入響應yzi(t)是否滿足線性性質。判斷方法按照式(1)。
  ③零狀態響應yzs(t)是否滿足線性性質。判斷方法按照式(1)。
  對于該系統是否滿足非時變性的判斷方法仍見式(2),特別要注意式(2)是適用于零初始狀態。
  例3:y(t)=6x(0)+2f(sint)
  在例3中,yzi(t)=6x(0),yzs(t)=2f(sint),系統響應滿足分解性質。
  因為T[Ax1(0)+Bx2(0)]=6[Ax1(0)+Bx2(0)]
  =A[6x1(0)]+B[6x2(0)]
  =Ayzi1(t)+Byzi2(t)
  所以,零輸入響應yzi(t)是滿足線性性質。
  又因為T[k1f1(t)+k2f2(t)]=2[k1f1(sint)+k2f2(sint)]
  =2k1f1(sint)+2k2f2(sint)
  =k1yzs1(t)+k2yzs2(t)
  顯然,零狀態響應也滿足線性性質。所以可得出,系統為線性系統。
  對于零狀態響應yzs(t),設f(t-t0)=g(t),則T[f(t-t0)]=T[g(t)]
  =2g(sint)
  =2f(sint-t0)
  而y(t-t0)=2f[sint(t-t0)]≠T[f(t-t0)]
  所以該系統不滿足非時變性,為時變系統。
  2因果性的判斷
  如果一個系統在任何時刻的輸出只決定于現在的輸入以及過去的輸入,該系統就稱為因果系統[3]。若當t<0時激勵f(t)=0,則當t<0時響應y(t)=0。
  對于連續時間系統,既可以從時域的角度判斷系統的因果性,也可以從變換域的角度來判斷系統的因果性。
  1)從時域角度判斷
  如果連續時間系統用輸入輸出描述,可以按照因果系統的定義進行判斷。
  例4:y’’(t)+4y’(t))=3f(t-1)+2f(t+1)
  在例4中,y(t)在t時刻的值要依賴于f(t)在t+1的值。所以,系統為非因果系統。
  例5:y(t)=e-2x(0)t+f(sin(t+5))
  在例5中,y(t)在t時刻的值要依賴于f(t)在t+5的值。所以,系統為非因果系統。
  例6:y(t)=af(t-1)+f(t)
  在例6中,顯然,系統為因果系統。
  對于連續時間的線性非時變系統,除了可以用輸入輸出描述外,還可以用系統的沖激響應h(t)表征系統的本身特性。系統的沖激響應h(t)定義為在系統初始狀態為零的條件下,以單位沖激信號激勵系統所產生的零狀態響應。如果系統為因果系統,則系統的沖激響應h(t)應滿足:
  h(t)=0(t<0)(4)
  例7:線性非時變系統的單位沖激響應為h(t)=e-tu(t)
  在例7中,因為t<0時,h(t)=0,所以該系統為因果系統。
  2)從變換域角度判斷
  系統的沖激響應h(t)的拉普拉斯變換為系統函數H(S)。而沖激響應h(t)為右邊信號,右邊信號的拉普拉斯變換的收斂域為S平面的實軸上某個數以右的平面[3]。
  例8:系統函數H(S)=6/(S+1),其中Re[s]>-1
  在例8中,因為收斂域為Re[s]>-1,是右邊平面。所以系統為因果系統。
  3結語
  在“信號與系統”課程中,線性非時變性和因果性是系統最重要的性質。學生往往不能快速而準確的判斷出系統的線性非時變性和因果性。本文逐一對連續時間系統的輸入輸出描述的三種情況的線性非時變性判斷方法進行了介紹,且對系統的因果性判斷方法分別從時域和變換域兩個角度作了分析。并通過舉例以便學生更好的理解連續系統的線性非時變性和因果性的判斷方法。
  作者簡介:
  潘小紅(1980-),女,湖北荊州人,碩士研究生,專業教師,長江大學文理學院,研究方向:信號處理。(原文載于《硅谷》雜志2012年第12期,硅谷網及《硅谷》雜志版權所有,未經允許禁止轉載)

  

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